Закінчив Новокаховський технікум гідромеліорації. Має кваліфікацію техніка-механіка.
Вищу освіту здобув у Таврійському державному агротехнологічному університеті за спеціальністю «Механізація сільського господарства» (інженер-механік).
Відслуживши у військово-морському флоті, влаштувався водієм. Так пропрацював близько двох років, після чого став механіком райагробуду.
З 1996 року до 2015 року був зареєстрований як фізична особа-підприємець.
У 2015 році обрався депутатом Херсонської обласної ради та депутатом Голопристанської міської ради від Батьківщини.
Від мандату депутата Херсонської облради відмовився.
З 2015 року є міським головою Голої Пристані.
У 2016 році закінчив Одеський регіональний інститут державного управління Національної академії державного управління при Президентові України за спеціальністю “Магістр державного управління”.
Під час виборів міського голови у 2020-му вже мертвий нардеп-колаборант Олексій Ковальов намагався поставити на це місце міського голови свою людину.
За словами заступниці Бабича Світлани Лінник, Ковальов хотів, аби керував попередній голова Анатолій Негра, тому блокував роботу виборчих комісій, його люди погрожували виборцям, аби ті не голосували за Бабича.
Окрім того, Ковальову вдалося зареєструвати для участі у виборах людину із таким самим прізвищем та ім’ям, як у Бабича, аби відтягнути голоси.
Попри це Олександр Бабич, який висувався від партії «Батьківщина», отримав 53% підтримки.
Є керівником ТОВ «ПСФ-Інжиніринг» (займається монтажем водопровідних мереж, систем опалення та кондиціонування), громадської організації «Рада міста Гола Пристань» та Голопристанської районної спілки спортивних організацій «Асоціація спортивних федерацій».
28 березня 2022 року Олександра Бабича викрали російські військові. У вересні того ж року з’явилася інформації про те, що він перебуває у сімферопольському СІЗО.
Пізніше з’явилася інформація, що напередодні викрадення йому погрожував Олексій Ковальов.
Заступниця мера Лінник вказувала, що 24 лютого 2022 року їй зателефонував Ковальов, який сказав: «Передайте своєму шефу, що для нього починаються безсонні дні та ночі».
Навесні 2023 року меру Голої Пристані присудили Премію імені Павла Адамовича – мера польського Ґданська, який загинув від смертельного поранення у 2019 році.
