Народився 30 січня 1979 року. Має вищу освіту. Проживав у Бериславі.
З 2002 року є головою Спілки роботодавців, товаровиробників та підприємців Бериславського району.
У 2003 році призначений на посаду директора ТОВ Паритет+.
З 2007 по 2014 роки був помічником-консультантом нардепа Юрія Одарченка.
У 2013 році Олексій Чачібая балотувався до Херсонської обласної ради від ВО “Батьківщина” на довиборах по 1 округу.
У 2014 році він балотувався до Верховної Ради від ВО “Батьківщина”. У тому ж році він працював головою Бериславської РДА.
У 2015 році Чачібая балотувався до Херсонської обласної ради від ВО “Батьківщина”, обрався депутатом, але відмовився від мандату, що дозволило стати депутатом Владиславу Мангеру.
У серпні 2016 року очолив Національний природній парк “Нижньодніпровський” у статусі виконуючого обовʼязки директора. .
У 2017 році він був членом виконкому Бериславської міської ради (як директор НПП “Нижньодніпровський”).
У 2018 році призначений директором НПП.
У 2020 році Олексій Чачібая балотувався у мери Берислава від партії “Слуга Народу”.
У тому ж році він обрався до Бериславської міської ради від партії “Слуга Народу”.
У 2020 – 2021 роках Чачібая очолював Бериславську районну партійну організацію ВО “Батьківщина”.
У 2021 році йому повідомляли про підозру в службовій недбалості на посаді директора НПП “Нижньодніпровський”, що спричинила державі 62 мільйони гривень збитків.
21 жовтня 2021 року відсторонений від посади директора строком на два місяці відповідно до наказу Міністерства захисту довкілля та природних ресурсів України.
11 дистопада 2021 року Міністр скасував наказ про відсторонення.
