Народився 4 червня 1976 року в місті Ульянівську.
Родина переїхала в Херсон після переведення туди батька-військовослужбовця.
У 1993 році закінчив середню школу і вступив до Херсонського національного технічного університету.
У 1999 році після закінчення вишу працевлаштувався в податкову службу.
Працював в недержавних та державних банках: «ПриватБанк», «Банк Південний», «OTP-Банк», «Ощадбанк».
Коли росіяни окупували Херсон, Грішин працював заступником начальника філії Херсонського регіонального управління «Ощадбанку».
Після приходу загарбників Олексій Грішин перейшов на роботу в російський «Промсвязьбанк», очоливши його «регіональне представництво» в окупованій області.
Грішин агітував херсонців до співпраці з окупаційною адміністрацією шляхом працевлаштування до очолюваного ним відділення «Промсвязьбанку». В середовищі окупантів мав прізвисько «Жид».
У вересні 2022 року Грішин отримав від СБУ підозру в пособництві державі-агресору.
Олексій Грішин разом з іншими представниками окупаційної влади брав участь у розкрадання готівкових грошей, які зберігалися у сховищах «Ощадбанку».
У грудні 2022 року в медіа з’явилося повідомлення про нібито затримання Олексія Грішина співробітниками СБУ. Але, судячи з того, що Грішин з’явився на окупованій росіянами лівобережній частині Херсонщини, справді була затримана інша людина.
У червні 2023 року стало відомо про те, що Олексій Грішин братиме участь в так званому попередньому голосуванні, влаштованому партією «Єдина Росія».
У 2023 році Олексій Грішин за даними ЦВК РФ балотувався на псевдовиборах від партії «Єдина Росія» на Херсонщині.
У вересні 2023 року за результатами проведених на окупованій частині Херсонської області російських псевдовиборів Олексій Грішин став депутатом створеної російськими окупантами Херсонської обласної думи.
У 2023 році, 20 вересня, на першому засіданні окупаційної Херсонської обласної думи Олексія Грішина обрали головою комітету з контролю за достовірністю відомостей про доходи, про майно та зобов’язання майнового характеру.
У Олексій Грішина є брат Сергій, який зараз є окупаційним міністром туризму та курортів Херсонської області.
